Una generalización de los autómatas celulares

Abstract

Resumen Sea G un grupo y A un conjunto con al menos dos elementos. Un autómata celular sobre A^G [1] es una función τ : A^G → A^G definida a través de un conjunto memoria finito S ⊆ G y una función local µ : A^S → A. En esta plática presentaremos una generalización de esta definición [2] la cual nos permite considerar ϕ-autómatas celulares τ : A^G → A^H, donde H es otro grupo arbitrario y ϕ : H → G es un homomorfismo de grupos. La definición clásica de autómata celular se recupera tomando G = H y ϕ = id. Además, esta definición nos permite demostrar análogos a tres teoremas importantes de la teoría de los autómatas celulares clásicos: 1. Teorema de Curtis-Hedlund generalizado: Una función τ : A^G → A^H es un ϕ-autómata celular si y solo si τ es continua en las topologías prodiscretas y ϕ-equivariante (i.e. h · τ (x) = τ (ϕ(h) · x) para toda x ∈ A^G, h ∈ H). 2. Teorema de composición: Consideremos un ψ-autómata celular σ : A^H → A^K con conjunto memoria S y un ϕ-autómata celular τ : A^G → A^H con conjunto memoria T. La composición σ ◦ τ : A^G → A^K es un (ϕ ◦ ψ)-autómata celular con conjunto memoria ϕ(S)T. 3. Teorema de invertibilidad: Un ϕ-autómata celular τ : A^G → A^H es invertible (en el sentido de que existe un homomorfismo de grupos ψ : G → H y un ψ-autómata celular σ : A^H → A^G tal que τ ◦ σ = id_A^H y σ ◦ τ = id_A^G ) si y sólo si τ es biyectivo.