Estimation and calibration of Lévy-driven moving average processes via Fourier methods

Abstract

In dieser Arbeit werden Prozesse untersucht, die durch die Faltung eines deterministischen symmetrischen Kerns mit einem zweiseitigen Lévy-Prozess als Integrator entstehen. Die Klasse von Prozessen dieser Art, die sogenannten zeitkontinuierlichen Lévy-driven Moving Average Prozesse, ist von speziellem Interesse. In der vorliegenden Arbeit wird die Tatsache genutzt, dass unter einer speziellen Wahl der Kernfunktion eine direkte Beziehung zwischen dem charakteristischen Exponenten des Lévy-Prozesses und der charakteristischen Funktion des zeitkontinuierlichen Lévy-driven Moving Average Prozesses besteht. Daher kann der charakteristische Exponent des Lévy-Prozesses aus den Beobachtungen des zeitkontinuierlichen Lévy-driven Moving Average Prozesses geschätzt werden. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf dem fourier-basierten Schätzer für zeitkontinuierliche Lévy-driven Moving Average Prozesse und der Konstruktion des Konfidenzintervalls für die Lévy-Dichte. In der vorliegenden Arbeit werden sowohl der parametrische Schätzer für Lévy-Tripel basierend auf niederfrequenten Beobachtungen als auch ein nichtparametrischer Schätzer der transformierten Lévy-Dichte vorgeschlagen. Ferner wurden die Konvergenzraten für den parametrischen Schätzer des Lévy-Tripels dargestellt und die Optimalität im Minimax-Sinn bewiesen. In dem Teil, der dem nichtparametrischen Schätzer der transformierten Lévy-Dichte gewidmet ist, wurde neben dem Schätzer auch ein zentrales Konfidenzintervall unter der Verwendung der Bootstrap-Methode konstruiert, das auf hochfrequenten Beobachtungen basiert. Es soll betont werden, dass die Gültigkeit des vorgeschlagenen Bootstrap-Konfidenzintervalls unter den speziellen Bedingungen gilt, die in der vorliegenden Arbeit formuliert wurden. Außerdem wurde die Konvergenzgeschwindigkeit der Gaußchen Approximation bei der Konstruktion des Konfidenzintervalls geschätzt. Als nächstes wurde das Supremum der Breite des Kofidenzintervalls für die transformierte Lévy-Dichte geschätzt.