Projektive Geometrie

Abstract

Wie wir gesehen haben, spielt in der affinen Geometrie der Parallelismus eine führende Rolle. In der projektiven Geometrie hingegen gibt es keinen Parallelismus: jedes Paar komplanarer Geraden schneidet sich. Der Widerspruch zu 12.61 wird dadurch aufgehoben, daß es in der projektiven Ebene keine Anordnung gibt. Die Punkte einer Geraden bilden, gleich wie die Geraden durch einen Punkt, eine geschlossene Menge: Unter dreien können wir keinen herausgreifen, der zwischen den beiden anderen Hegt. Man könnte zunächst meinen, daß eine Geometrie, in der es weder Kreis noch Abstand, weder Winkel noch «zwischen» und auch keinen Parallelismus gibt, etwas mager ausfällt. Allein, es ergeben sich sehr schöne und schwierige Sätze, von denen Euklid niemals träumte, da sein Interesse im Metrischen lag und ihn in anderer Richtung leitete. Einige wenige dieser nicht metrischen Sätze wurden von Pappus von Alexandrien im vierten Jahrhundert n. Chr. entdeckt. Andere verbindet man mit den Namen zweier Franzosen: dem Architekten Girard Desargues (1591–1661) und dem Philosophen Blaise Pascal (1623–1662). Die Perspektive wurde [Yaglom 2, S. 31] durch Künstler wie Dürer (1471–1528) und Leonardo da Vinci (1452–1519) studiert.