有限变系数系统的运动稳定性

Abstract

以E(p,q;ε)记满足条件的二阶变系数系统的全体所组成的集合. 此处p>0,q>0,ε≥0. 本文证明了:(甲) 对于任何两个正常数p及q,存在一个正常数ε^*=ε^*(q/p²),使得(ⅰ) 当0≤ε<ε^*,则集合E(p,q;ε)中的每一个系统的平凡解都是渐近稳定的;(ⅱ) 当ε^*<ε,则集合E(p,q;ε)中有系统共平凡解是不稳定的. 这就否定了一种普遍的猜想:条件p₁≥p(t)≥p₀>O,q₁≥q(t)≥q₀>0. 可以保证系统的平凡解的稳定性;(ⅲ) 当ε^*=ε,则集合E(p,q;ε)中每一系统的平凡解都是稳定的,但存在系统,其平凡解不是渐近稳定的. (乙) 函数ε^*(q/p²)随q/p~2由0增加到+∞,而由1单调减少到0. (丙) 给出了函数ε^*(q/p²)的数值图表,以及近似解析表达式,供工程师及物理、力学家之用. 注意,p₁实际上可任意大,ε^*只与p₀,q₀,q₁有关,相应的结果亦已得到.