Comparative mathematical modelling of groundwater pollution

Abstract

In den unterschiedlichsten naturwissenschaftlichen und wirtschaftlichen Disziplinen spielt die Diffusion eine wichtige Rolle. In der Biologie wird beispielsweise die Reaktionsgleichung dazu benutzt, tierische Musterbildung nachzubauen. Auch in der Wirtschaft wird Diffusion verwendet um den Ankauf und Verkauf von Aktienfonds zu berechnen. Diese Arbeit widmet sich der sogenannten Smoluchowski Gleichung und wurde von einem Benchmark der europäischen Simulationsgemeinschaft inspiriert. Dieser Benchmark befasst sich mit der Thematik der Grundwasserverschmutzung und deren Simulation. Man stelle sich einfach eine Schmutzquelle inmitten eines beliebigen Gewässers vor. Diese Quelle emittiert immerwährend oder auch nur zeitweise Schmutzpartikel welche sich im Folgenden auf dem ganzen Gebiet verteilen. Um dieses Verhalten simulieren zu können benötigt man die zugrunde liegende mathematische Gleichung. In diesem Fall handelt es sich um die Analyse von diffusem Verhalten unter Einfluss von Geschwindigkeitsfeldern. Diverse Ansätze, beginnend bei analytischen Lösungen bis hin zu chaotischen Bewegungssimulationen, werden verwendet um dieses Verhalten abzubilden. Der erste Teil der Arbeit beschäftigt sich ausschließlich mit der Problemanalyse auf einem eindimensionalen Gebiet. Im zweiten Teil wird das Gebiet zu einem zweidimensionalen Raum erweitert. In jeder Dimension werden grundsätzlich drei verschiedene Ansätze verfolgt. Als erstes wird auf dem angegebenen Gebiet und unter unterschiedlichen Voraussetzungen nach einer analytischen Lösung gesucht. Da analytische Lösungen in der Regel nicht einfach aufzufinden sind, konzentriert sich die zweite Herangehensweise auf numerische Lösungen. Diesbezüglich können zwei wichtige Verfahren genannt werden, die finite Differenzen und die finite Elemente Methode. Stochastische Prozesse als auch das Prinzip des Random Walks werden im dritten Teil verwendet um Diffusion zu simulieren. Diese alternativen Methoden beschäftigen sich mit der chaotischen Bewegung kleinster Teile. Im Fokus dieser Arbeit steht der Vergleich dieser verschiedenen Ansätze in Hinblick auf Effizienz, Handhabung und Implementierung. Es werden sowohl Vorzüge als auch Nachteile, Gemeinsamkeiten sowie Unterschiede herausgearbeitet werden. Das Zusammenspiel der einzelnen Parameter und deren Auswirkungen auf die Simulationszeiten und -ergebnisse wird untersucht. Verfahren, die sich für diese Art von Aufgabenstellung weniger eignen, werden in dieser Arbeit ebenfalls angesprochen. Da in der hier betrachteten Problemstellung eine analytische Lösung angegeben werden kann, können die verschiedenen Methoden mit dieser als ultimativer Bestapproximation verglichen werden. Zum Abschluss werden alle verwendeten Methoden und ihre Eigenschaften nochmals Revue passieren und ein Ausblick auf weitere mögliche Ansätze und Methoden gegeben.