Bayesian modelling of high dimensional financial data using latent gaussian models

Abstract

Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσονται μέθοδοι για τη μοντελοποίηση και τη στατιστική ανάλυση πολυδιάστατων χρηματοοικονομικών δεδομένων. Το κίνητρο για την πραγματοποιηθείσα έρευνα ήταν η αναγνώριση σπάνιων και ακραίων κινήσεων, οι οποίες καλούνται άλματα, στις τιμές των 600 μετοχών του δείκτη Euro STOXX. Το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι γνωστό στη χρηματοοικονομική και στατιστική βιβλιογραφία ως το πρόβλημα διαχωρισμού της διαδικασίας αλμάτων από τη διαδικασία στοχαστικής μεταβλητότητας των τιμών μιας μετοχής.Η κύρια συνεισφορά της διατριβής είναι η μοντελοποίηση και η ανάπτυξη στατιστικών μεθόδων συμπερασματολογίας για τα χαρακτηριστικά των αλμάτων στις τιμές μεταξύ των μετοχών των διαφορετικών οικονομικών αγορών αλλά και για τη διαφοροποιήση των συγκεκριμένων χαρακτηριστικών στις διαφορετικές χρονικές στιγμές. Ακολουθώντας την φιλοσοφία της Μπεϋζιανής στατιστικής χρησιμοποιούμε εκ των προτέρων πληροφορία για να μοντελοποιήσουμε χαρακτηριστικά των αλμάτων των τιμών των μετοχών όπως η τάση τους να πραγματοποιούνται ομαδοποιημένα ανά χρονικές στιγμές και να επηρεάζουν μέσα σε σύντομο χρονικό διάστημα διάφορες μετοχές. Το προτεινόμενο μοντέλο φαίνεται να παρέχει βελτιωμένες, σε σχέση με ήδη υπάρχοντα μοντέλα, προβλέψεις για τις μελλοντικές τιμές των μετοχών. Το χρηματοοικονομικό μοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή ανήκει στην κατηγορία των μοντέλων με άδηλες κανονικές μεταβλητές και αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι γννωστό ως μοντέλο στοχαστικής μεταβλητότητας ενώ το δεύτερο μέρος είναι ένα πολυμεταβλητό μοντέλο αλμάτων. Η Μπεϋζιανή συμπερασματολογία για τέτοιου είδους μοντέλα βασίζεται στην χρήση Markov chain Monte Carlo (MCMC) αλγορίθμων, οι οποίοι εναλλάσουν δειγματοληψία μεταξύ της κατανομής των άδηλων μεταβλητών του μοντέλου δοθέντων των παραμέτρων και των παρατηρήσεων, και της κατανομής των παραμέτρων δοθέντος των άδηλων μεταβλητών και των παρατηρήσεων. Στην περίπτωση ενός μοντέλου στοχαστικής μεταβλητότητας με άλματα, η δειγματοληψία της άδηλης διαδικασίας στοχαστικής μεταβλητότητας είναι ένα γνώστο πρόβλημα για το οποίο δεν υπάρχει ακόμα μια ευρέως αποδεκτή λύση, αφού απαιτείται η δειγματοληψία από μια πολυδιάστατη, μη γραμμική κατανομή. Στην παρούσα διατριβή προτείνεται ένας Metropolis-Hastings αλγόριθμος με τον οποίο πραγματοποείται η δειγματοληψία ολόκληρου του μονοπατιού της διαδικασίας στοχαστικής μεταβλητότητας χωρίς την χρήση κάποιας προσέγγισης. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος συγκρίνεται επίσης με ήδη υπάρχοντες αλγοριθμους και εφαρμόζεται στις τιμές των μετοχών που αποτέλεσαν το κίνητρο της διατριβής, με σκοπό να αναγνωριστούν τα άλματα τους.Για τη μοντελοποίηση της διάδοσης των αλμάτων ματαξύ των τιμών των μετοχών αλλά και μεταξύ των διαφορετικών χρονικών στιγμών χρησιμοποιούμε τη διπλά στοχαστική διαδικασία Poisson, γνωστή και ως διαδικασία του Cox. Ο ρυθμός των αλμάτων της χρησιμοποιούμενης Poisson διαδικασίας μοντελοποιείται από ένα δυναμικό παραγοντικό μοντέλο. Αναπτύσσουμε επίσης MCMC αλγορίθμους για την Μπεϋζιανή εκτίμηση των παραμέτρων και των άδηλων μεταβλητών του προτεινόμενου μοντέλου. Αφού ελεγχθεί σε προσομοιωμένα δεδομένα, ο προτεινόμενος αλγόριθμος εφαρμόζεται στα πραγματικά δεδομένα που έχουμε στην διαθεσή μας. Οι προβλέψεις μελλοντικών τιμών των μετοχών με τη χρήση του προτεινόμενου μοντέλου συγκρίνονται με προβλέψεις από υπάρχοντα μοντέλα. Ο MCMC αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε για την πραγματοποιήση Μπεϋζιανής συμπερασματολογίας στα προαναφερθέντα μοντέλα εφαρμόζεται επίσης σε ένα πρόβλημα δημογραφικής στατιστικής. Πιο συγκεκριμένα, στο πλαίσιο των μοντέλων άδηλων κανονικών μεταβλητών παρουσιάζουμε μια καινοφανή προσέγγιση στη μοντελοποίηση και την πρόβλεψη πιθανοτήτων θνησιμότητας.