Network Flow Problems Arising From Evacuation Planning

Abstract

Wir untersuchen die Einsatzmöglichkeiten der Netzwerkflusstheorie in der Evakuierungsplanung. Wir gehen davon aus, dass uns ein Netzwerk des zu evakuierenden Gebiets zur Verfügung steht. Darin modellieren Quellen die Ausgangspositionen und Senken die sicheren Bereiche für die Personen. Die Kanten haben Kapazitäten, welche die Flussrate in die Kante beschränken, und Durchgangszeiten. In einem dynamischen Fluss erreichen die Flusseinheiten das andere Ende einer Kante, nachdem die Durchgangszeit verstrichen ist. Dadurch modelliert ein dynamischer Fluss, wie sich die Flusseinheiten durch das Netzwerk und durch die Zeit bewegen. In der mathematischen Literatur zu Evakuierungen nehmen sogenannte Earliest Arrival Flows (EAF) einen prominenten Platz ein, siehe z.B. Hoppe oder Hamacher. Ein EAF ist ein dynamischer Fluss, der zugleich für alle Zeitpunkte die Anzahl der Flusseinheiten maximiert, die bis dahin bereits eine Senke erreicht haben. Dadurch repräsentieren sie die bestmögliche Lösung für eine Evakuierung. Wir konzentrieren uns darauf, einen praxistauglichen Algorithmus zur Berechnung eines EAF zu entwickeln. Dieser Algorithmus basiert auf dem Successive-Shortest-Path-Algorithmus, den wir auf die sich wiederholende Struktur des zeitexpandierten Netzwerks und auf typische Instanzen spezialisieren. Eine zentrale Idee ist, während der Suche des kürzesten Wegs Kopien desselben Knotens über mehrere Zeitschichten hinweg zu berücksichtigen. Ebenfalls kommen viele Heuristiken zum Einsatz. Auf den größten Instanzen mit echten Anwendungsdaten erreichen wir insgesamt die Geschwindigkeit der besten konkurrierenden Ansätze. Auf jenen Instanzen, die große Gebäude modellieren, ist unser Algorithmus signifikant schneller als alle andere. Danach betrachten wir Flüsse mit aggregierten Kantenkapazitäten. Dies sind dynamische Flüsse, in denen die Kapazitäten den Fluss in die Kanten innerhalb eines sich verschiebenden Zeitfensters beschränken. Dieses Modell wurde vor kurzem von Melkonian eingeführt. Wir verallgemeinern es, indem wir die Länge der Fenster von den Durchgangszeiten unabhängig machen. Wir diskutieren die Auswirkungen der Flusserhaltung in unserem verallgemeinerten Modell, sowie die Komplexität des zugehörigen Transportproblems unter verschiedenen Bedingungen. Als nächstes entwickeln wir dafür ein voll polynomielles Approximationsschema (FPTAS), welches Lösungen berechnet, die die Kapazitäten und den Zeithorizont um den Approximationsfaktor überschreiten. Die Kantenkosten und die Länge der Zeitfenster werden aber exakt berücksichtigt. Der Korrektheitsbeweis erweitert eine Technik von Fleischer und Skutella. Schließlich untersuchen wir noch das Maximum Confluent Flow Problem (MCFP). Ein Confluent Flow ist ein statischer Fluss, welcher an jedem Knoten nur eine ausgehende Kante verwendet. Kürzlich erschienene Resultate von Chen et al. behandeln die Minimierung der überlastung in einem Confluent Flow, allerdings ohne unterschiedliche Kantenkapazitäten zu berücksichtigen. Bei unseren Betrachtungen hingegen sind beliebige Kantenkapazitäten erlaubt. Wir entwickeln einen polynomiellen Algorithmus zur Berechnung des MCFP auf außenplanaren Graphen mit einer Senke. Dieses dynamische Programm enthält pseudopolynomiell viele Einträge, die wir mittels einer effizienten Darstellung polynomiell verwalten. Basierend auf unserer Komplexitätsanalyse argumentieren wir, dass außenplanare Graphen einen wichtigen nicht-trivialen polynomiellen Fall darstellen. Wir untersuchen auch ein FPTAS für das MCFP mit beliebigen Quellen und Senken auf Graphen mit beschränkter Baumweite.