Scattered Data Interpolation und Approximation

Abstract

Bei Anwendungen z.B. in der Geologie, Meteorologie, Kartographie aber auch beim Digitalisieren von Modelloberflächen können unregelmäßig verteilte Daten (scattered data) auftreten, die durch eine Fläche interpoliert oder approximiert werden sollen. Das zu lösende Interpolationsproblem lautet also: gegeben sind N+1 Abszissen xi = (xi, yi) ∈ ℝ2, i = 0(1) N, mit zugehörigen Ordinaten (z.B. Meßwerten) zi, gesucht ist eine Funktion f(x) = f (x, y) derart, daß zi = f(xi, yi) gilt. Das Approximations problerm kann als (weighted oder auch als moving) least square Problem I(f) = Σ ωi(x) (f(xi, yi) − zi)2 → Min. behandelt werden, oder, was in jüngster Zeit immer häufiger geschieht, als smoothing Problem I(f) = Σ ωi(x) (f(xi, yi) − zi)2+ λ J(f) → Min., mit Glättungsparameter λ und "physikalischem Term" J(f), z.B. der Biegeenergie einer eingespannten, elastischen dünnen Platte, etc. Wobei bei der scattered data Interpolation bzw. Approximation jedoch, im Gegensatz zur Aufgabenstellung der vorausgehenden Kapitel, keine speziellen Forderungen an die Datenpunkte (xi, yi, zi), insbesondere in Bezug auf Verteilungsanordnung und -dichte, gestellt werden. Wir wollen uns hier auf das Interpolationsproblem beschränken. Das Approximationsproblem wurde bereits in den Kap. 2.4, 2.5 und 4.4 angesprochen. Weiterhin sei auch verwiesen auf [DIE 81], [FARW 86], [FOL 87c], [FRA 87], [HAY 74], [HU 86], [MCLA 74, 76], [MCM 87], [LAN 79, 86], [SCHM 79, 83, 85], [SCHU 76], sowie auf die Literaturliste [FRA 87a]; zum Smoothing s. a. Kap. 13.