Equivariant chain complexes, twisted homology and relative minimality of arrangements

Abstract

We show that the π-equivariant chain complex (π=π1(M(A))), C•(X), associated to a Morse-theoretic minimal CW-structure X on the complement M(A) of an arrangement A, is independent of X. The same holds for all scalar extensions, C•(X)⊗ZπKZ, K a field, where X is an arbitrary minimal CW-structure on a space M. When A is a section of another arrangement A, we show that the divisibility properties of the first Betti number of the Milnor fiber of A obstruct the homotopy realization of M(A) as a subcomplex of a minimal structure on M(A). If A is aspherical and A is a sufficiently generic section of A, then H∗(M(A);L) may be described in terms of π, L and χ(M(A)), for an arbitrary local system L; explicit computations may be done, when A is fiber-type. In this case, explicit KZ-presentations of arbitrary abelian scalar extensions of the first non-trivial higher homotopy group of M(A), πp(M), may also be obtained. For nonresonant abelian scalar extensions, the CZ-rank of πp(M)⊗ZπCZ is combinatorially determined. Nous montrons que le complexe de chaı̂nes C•(X) associé à une structure cellulaire minimale de Morse, X sur le complémentaire M(A) d'un arrangement A, est indépendant de X en tant que Zπ-complexe, où π=π1(M(A)). Le même résultat reste vrai pour toutes les extensions scalaires C•(X)⊗ZπKZ, K étant un corps et X une structure minimale sur un espace M. Lorsque A s'obtient comme une section d'un autre arrangement A, nous montrons que les propriétés de divisibilité du premier nombre de Betti de la fibre de Milnor associée à A donnent des obstructions à la réalisation de M(A) comme un sous-complexe d'une structure minimale sur M(A). Si A est asphérique et A en est une section suffisamment générale, alors H∗(M(A);L), pour L un système local quelconque, peut être décrit en fonction de π, L et χ(M(A)). Des calculs explicites sont possibles lorsque A est de type fibré. Dans cette situation, des présentations explicites pour des extensions scalaires abéliennes de πp(M), le premier groupe d'homotopie supérieur non-nul de M(A), peuvent aussi être obtenues. Pour les extensions scalaires abéliennes qui sont non-résonantes, le CZ-rang de πp(M)⊗ZπCZ est déterminé par la combinatoire.