Periodic solutions for singular Hamiltonian systems and closed geodesics on non-compact Riemannian manifolds

Abstract

We study the existence of periodic solutions of singular Hamiltonian systems as well as closed geodesics on non-compact Riemannian manifolds via variational methods. For Hamiltonian systems, we show the existence of a periodic solution of prescribed-energy problem: \begin{align*} &\stackrel{••}q + \nabla V\left(q\right) = 0,\\ &\frac{1}{2}\left|\stackrel{•}q\right|^{2} + V\left(q\right) = 0 \end{align*} under the conditions: (i) V(q)<0 for all q \in \mathbb{R}^{N}\backslash \left\{0\right\} ; (ii) V(q)\sim −1/|q|^2 as |q|∼0 and |q|∼∞ . For closed geodesics, we show the existence of a non-constant closed geodesic on \left(\mathbb{R} \times S^{N - 1},g\right) under the condition: g_{\left(s,x\right)} \sim ds^{2} + h_{0} \quad \text{as }s \sim \pm \infty , where h_0 is the standard metric on S^{N−1} . Résumé Nous étudions l’existence de solutions p’eriodiques pour des systèmes Hamiltoniens singuliers, et de géodésiques fermées sur des variétes Riemanniennes non-compactes par des méthodes variationnelles. Pour les systèmes Hamiltoniens, nouns montrons l’existence d’une solution périodique pour un probl‘eme à énergie prescrite: \begin{align*} &\stackrel{••}q + \nabla V\left(q\right) = 0,\\ &\frac{1}{2}\left|\stackrel{•}q\right|^{2} + V\left(q\right) = 0 \end{align*} sous les conditions: (i) V(q)<0 pour tout q \in \mathbb{R}^{N}\backslash \left\{0\right\} ; (ii) V(q)∼−1/|q|^2 quand |q|∼0 et |q|∼∞ . Pour les géodésiques fermées, nouns montrons l’existence d’une géodésique fermée non-constante sur \left(\mathbb{R} \times S^{N - 1},g\right) sous la condition: g_{\left(s,x\right)} \sim ds^{2} + h_{0} \quad \text{as }s \sim \pm \infty , où h_0 est la métrique standard sur S^{N−1} .